Aula 18: Produto Vetorial | Estática dos Corpos Rígidos

Introdução

Nessa aula de estática, faremos uma breve revisão sobre o produto vetorial, com o foco na sua aplicação na estática.

Confira logo abaixo o descritivo ou assista a vídeo-aula com as explicações ao final da postagem.

Normalmente se estuda produto vetorial em álgebra, logo no início do curso de engenharia, mas ficamos sem entender a razão de tal estudo.

Nessa aula nós apresentamos uma de suas aplicações, no cálculo de momento de uma força, mas também é utilizado em outras disciplinas como dinâmica dos corpos rígidos e eletromagnetismo.

Aqui, por falta de ferramentas, iremos adotar a representação de vetor por meio do negrito, tendo em vista que não é possível utilizar a seta sobre o vetor em questão.

Definição de Produto Vetorial

Regra da Mão Direita

O produto vetorial de dois vetores A e B  produz um vetor C escrito como:

• C = A X B    (lê-se: Vetor C é igual a A vetorial B) 

A intensidade de C, o vetor resultante do produto vetorial, pode ser calculado por:

C = A . B . senq   |  com 0 £ q £ 180º 

A direção de será, o vetor resultante do produto vetorial, será perpendicular  aos vetores A e B, sendo seu sentido obtido pela regra da mão direita.

Propriedades de Operações Matemáticas

Agora veremos quais as propriedades de operações matemáticas são válidas para o produto vetorial.

Comutativa: Comutativa é a propriedade de operação matemática relacionada como a sequência de cálculo, por exemplo:

• 2 x 3 = 6 assim como 3 x 2 = 6
• Nessa caso, podemos dizer que a multiplicação de escalares é uma operação matemática comutativa.

A X B

Vejamos agora o produto vetorial:

C = A X B   

pela regra da mão direita fica: 

B X A 

D = B X A 

pela regra da mão direita fica:

Como o resultado é diferente, o produto vetorial não é uma operação matemática comutativa.

Multiplicação por Escalar: A multiplicação por escalar consiste numa operação onde se multiplica uma dada operação por um entidade dotada apenas de intensidade ou módulo. Traduzindo, multiplicação por um número diferente de zero.

Nessa caso fica: a .(A X B) = (a.A) X B = A X (a.B)

Em outras, palavra, não existe diferença quando se multiplica um produto vetorial por escalar ou se a multiplicação é feita antecipadamente em qualquer um dos vetores envolvidos.

Distributiva de Adição: A distributiva da adição é a situação onde se tem uma operação e um soma. 

Lá na matemática básica, tinha-se a x (b + c) tendo como resultado a.b + a.c

No produto vetorial será da mesma forma, ficando:

A X(B + C) = A X B + A X C)

Vetor Cartesiano: Produto Vetorial

O vetor cartesiano é aquele definido no espaço, ou seja, em coordenadas tridimensionais, comumente, utilizado como símbolo, os eixos x, y, z.

Também podemos definí-los em vetores unitários, i , j e k

Dessa forma, podemos obter o vetor cartesiano, resultado do produto vetorial, com o uso do recurso matemático conhecido como determinante de uma matriz, sendo que na primeira linha da matriz se coloca os vetores unitários i , j e k , na segunda linha, as componente do primeiro vetor (aquele que aparece a esquerda) e por fim, na última linha, as componentes do segundo vetor (o vetor da direita), ficando:

Para calcular o determinante, podemos proceder o recurso prático a seguir:

1. Repete-se as 2 primeiras colunas (da esquerda para a direita)
2. Pega-se a diagonal com valor positivo (+) (da esquerda para a direita) multiplicando cada membro
3. Pega-se a diagonal com valor negativo (-) (da direita para a esquerda) multiplicado cada membro
4. Agrupa-se os valores com o mesmo vetor unitário

Conforme indicado:

Passo 01

Passos 02 e 03

Passo 04

Para melhor entendimento, assista a explicação do conteúdo na vídeo-aula a seguir:

Aula 18 - Revisão: Produto Vetorial

Bibliografia:

• J. L. Meriam e L. G. Kraige - Mecânica: Estática
• Hibbeler - Mecânica para Engenharia: Estática

Escrito por: Micelli Camargo

Engenheiro Mecânico pela Universidade Federal de Itajubá - UNIFEI.

MBA Executivo em Marketing pela Fundação Getúlio Vargas - FGV

12 anos de experiência em vendas técnicas, sendo 6 numa multinacional do setor de vedações industriais e mais de 6 anos ministrando aulas em um curso de engenharia mecânica.

Atua no atendimento de empresas químicas, petroquímicas, farmacêuticas, alimentícia, papel e celulose, entre outras.

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